Калькулятор двоичных кодов: перевод в прямой, обратный и дополнительный код онлайн

Как пользоваться этим калькулятором:

Поле «Десятичное число»: Введите любое целое число (например, -13 или 42).
Разрядность: Выберите 8, 16 или 32 бита. Это критически важно, так как представление числа зависит от размера ячейки памяти.
Кнопка «Рассчитать»: Программа мгновенно вычислит три вида кодов.
Блок «Ход решения»: Здесь вы увидите текстовое пояснение того, как именно компьютер превратил ваше число в нули и единицы.

Основные фишки реализации:

Группировка бит: Длинные последовательности (вроде 32 бит) автоматически разбиваются на блоки по 4 цифры для удобства чтения.

Валидация: Если вы попытаетесь ввести число -200 для 8-битной сетки, калькулятор вежливо сообщит, что оно не поместится (так как диапазон 8 бит со знаком — от -128 до 127).

Визуализация знакового бита: В ходе решения выделяется первый бит, отвечающий за знак.

Двоичный калькулятор

Перевод чисел в прямой, обратный и дополнительный коды

Десятичное число:

Разрядность (биты):

Зачем это вообще нужно знать?

Представь, что ты строишь процессор. Процессоры по своей природе — это огромные наборы переключателей, которые умеют очень быстро складывать. Но вот беда: делать отдельную схему для вычитания — это дорого, сложно и занимает лишнее место на кристалле.

Зачем учить эти коды:

Унификация операций: Благодаря дополнительному коду процессор вообще не умеет вычитать. Он просто складывает положительное число с «хитрым» отрицательным. Результат получается верным!
Проблема «двух нулей»: В простом (прямом) коде у нас получается два нуля: $+0$ и — $-0$ . Это путает логику. Дополнительный код решает эту проблему — ноль там только один.
Понимание ошибок (Overflow): Когда в игре у персонажа внезапно становится «-2 147 483 648» здоровья после получения бонуса — это знание поможет тебе понять, что произошло переполнение разрядной сетки.

Краткая теория

В памяти компьютера всё ограничено «ячейками» (разрядами). Обычно это 8, 16, 32 или 64 бита. Самый левый бит — знаковый (0 — плюс, 1 — минус).

1. Прямой код

Это число «как оно есть» в двоичной системе, но с установленным знаковым битом.

Пример для -5 (в 8 битах):

5 в двоичной: 0000 0101

Меняем первый бит на 1: 1000 0101

2. Обратный код (Ones’ Complement)

Нужен как промежуточный этап. Получается путем инверсии (замены 0 на 1 и наоборот) всех бит положительного числа (кроме знакового, если мы говорим о классическом алгоритме).

Для -5:

Берем 0000 0101 (это +5)

Переворачиваем всё: 1111 1010

3. Дополнительный код (Two’s Complement)

Именно этот код «живет» в твоем компьютере.

Алгоритм: Обратный код + 1.

Для -5:

Обратный: 1111 1010 $+1$
$+1$ : 1111 1011

Шпаргалка: Как быстро перевести отрицательное число

Если тебе нужно быстро посчитать это на контрольной, используй это правило:

«Справа налево до первой единицы»

Запиши положительное число (например, $5 = 0000 0101$ ).

Иди справа налево: оставляй все нули и первую встреченную единицу без изменений.

Все биты после (левее) первой единицы — инвертируй.

Было: 0000 0101 (дошли до первой единицы)

Стало: 1111 1011 (инвертировали всё, что левее) — это и есть доп. код!

Задание для самопроверки: Попробуй перевести число $-10$ в 8-битную сетку. Если получится 1111 0110 — ты усвоил тему!

Отлично! Давай поступим так: сначала разберем «ловушку», на которой сыплются многие ученики, а затем я дам тебе небольшой тест, чтобы закрепить материал.

Сложный пример: число -128 в 8 битах

Это самый коварный пример в теме. Почему? Потому что число +128 не влезает в 8-битную знаковую сетку (максимум там +127).

Как же компьютер получает -128?

Возьмем число -127:

$+127$ в двоичной: 0111 1111
Инвертируем: 1000 0000
Добавляем 1: 1000 0001 (это -127)

Вычтем еще единицу (или прибавим -1):

Если мы из 1000 0001 вычтем 1, получим 1000 0000.

Итог: В 8-битной системе 1000 0000 — это и есть -128. У этого числа нет положительной пары в этой же разрядности. Это «лишнее» отрицательное число, которое появилось благодаря тому, что мы избавились от второго нуля.

Уточнение про второй нуль

Это тот самый момент, где информатика превращается в магию чисел. Давай разберемся, куда делся «второй нуль» и почему это важно.

Представь, что мы используем не современный дополнительный код, а самый простой — прямой.

1. Проблема «двух нулей» в прямом коде

В прямом коде первый бит — это просто «минус», а остальные — само число.

Как записать +0? Это 0000 0000.
Как записать -0? Мы просто меняем первый бит на 1: 1000 0000.

Математически +0 и -0 — это одно и то же. Но для компьютера это две разные комбинации битов.

Это была огромная проблема для первых программистов: процессору приходилось каждый раз делать двойную проверку: «Результат равен 00000000? А может он равен 10000000?». Это замедляло вычисления.

2. Как дополнительный код «схлопнул» нули

Когда придумали дополнительный код, нуль стал уникальным. Давай проверим это по алгоритму (инверсия + 1):

Возьмем $+0$ : 0000 0000.
Инвертируем его (обратный код): 1111 1111.
Прибавим единицу: 1111 1111 + 1 = 1 0000 0000.
В 8-битной сетке лишняя единица слева просто «вылетает» (отбрасывается).
Итог: Мы снова получили 0000 0000.

Теперь и для положительного, и для отрицательного нуля комбинация одна — только нули.

3. Откуда взялось число -128?

У нас в 8 битах всего 256 возможных комбинаций (от 0000 0000 до 1111 1111).

Раньше (в прямом коде) одна комбинация тратилась на +0, а еще одна — на -0.
Теперь нуль занимает только одну комбинацию (0000 0000).
Значит, одна комбинация освободилась!

Эту «лишнюю» комбинацию, которая раньше была отрицательным нулем (1000 0000), математики решили отдать отрицательным числам. Так диапазон стал асимметричным:

Положительные: от 1 до 127 (всего 127 чисел).
Ноль: 1 штука.
Отрицательные: от -1 до -128 (всего 128 чисел).

Резюме для ученика:

В памяти компьютера нет знака «минус», есть только ячейки. Чтобы не путаться с двумя разными нулями и сделать арифметику проще, программисты договорились использовать дополнительный код. Это позволило:

Иметь только один единственный нуль.
Использовать освободившееся место для еще одного числа — -128.

Именно поэтому, если ты в языке программирования (например, C++ или Java) попробуешь прибавить 1 к самому большому числу 127 (тип byte), ты внезапно «провалишься» в -128. Это и есть переполнение!

Теперь стало понятнее, почему диапазон «кривой» и откуда там лишнее число?

Мини-тест для самопроверки

Попробуй ответить на эти вопросы (ответы я спрятал ниже, не подглядывай сразу!).

Вопрос 1. Какое максимальное положительное число можно записать в 8-битную ячейку памяти (тип signed char)?

А) 255

Б) 127

В) 128

Вопрос 2. Как будет выглядеть число -1 в дополнительном коде (8 бит)?

Подсказка: Возьми +1 (0000 0001), инвертируй и прибавь 1.

Вопрос 3. В чем главное преимущество дополнительного кода перед прямым?

А) Числа занимают меньше места.

Б) Сложение и вычитание можно выполнять на одном и том же устройстве (сумматоре).

В) Его легче читать человеку.

Ответы

Б) 127. Первый бит зарезервирован под знак, остается 7 бит: $2^7 - 1 = 127$ .
1111 1111. Это «король» отрицательных чисел в программировании. Если видишь все единицы в знаковом типе — это всегда -1.
Б) Унификация операций. Процессору не нужно отдельное устройство для вычитания.