Многоразрядные целые числа, задачи длинной арифметики

Многоразрядные целые числа, или числа большой длины, используются для представления и работы с очень большими числами, которые не могут быть представлены использованием обычных типов данных, таких как int или long. В общем случае, числа большой длины могут иметь произвольное количество разрядов и могут быть положительными или отрицательными.

Данные числа представляются в виде массива или списка цифр, где каждый элемент массива или элемент списка представляет один разряд числа. Например, число 123456789 будет представлено в виде массива [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Каждая цифра представлена отдельным элементом, что позволяет представлять числа любой длины.

Длинная арифметика

Длинная арифметика обеспечивает возможность выполнения математических операций с числами большой длины, например, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Операции выполняются по разрядам числа, начиная с самого младшего разряда и двигаясь в старшие разряды. При выполнении операций, для учета переносов и заемов используются алгоритмы, полагающиеся на основные математические свойства чисел.

Задачи длинной арифметики широко используются в различных областях, включая криптографию, вычислительную математику, анализ данных, обработку изображений и большие вычисления. Они позволяют работать с очень большими числами, которые требуют точности и точных результатов, а также обеспечивают возможность работы с числами, которые не могут быть представлены в ограниченных типах данных.

Важно отметить, что задачи длинной арифметики могут быть вычислительно сложными из-за большого количества операций, которые необходимо выполнить для каждой операции. Поэтому эффективные алгоритмы и структуры данных используются для оптимизации производительности операций с числами большой длины.

Примеры задач реализации вычислений с многоразрядными числами

Задача 1. Напишите код программы на Python. Реализуйте функцию для сложения двух многоразрядных чисел, представленных в виде строк.

def add_multidigit_numbers(num1, num2):
    carry = 0
    result = []
    
    # Выравнивание длины чисел, добавление нулей в начало
    if len(num1) > len(num2):
        num2 = num2.zfill(len(num1))
    else:
        num1 = num1.zfill(len(num2))
    
    # Сложение цифр справа налево
    for i in range(len(num1) - 1, -1, -1):
        digit_sum = int(num1[i]) + int(num2[i]) + carry
        digit = digit_sum % 10
        carry = digit_sum // 10
        result.insert(0, str(digit))
    
    # Добавление остатка
    if carry:
        result.insert(0, str(carry))
    
    return "".join(result)
num1 = "12345"
num2 = "9876"
sum = add_multidigit_numbers(num1, num2)
print(sum) # Выводит "22221"

В этом примере функция add_multidigit_numbers принимает две строки, представляющие два многоразрядных числа. Затем функция выполняет сложение чисел, используя столбиковый метод, и возвращает результат в виде строки.

Задача 2.Пусть у нас есть два многоразрядных числа, представленных в виде списков, где каждый элемент списка представляет одну разрядную цифру числа. Например, первое число может быть представлено списком [3, 2, 5, 4], а второе число — списком [1, 9, 8, 7]. Необходимо реализовать функцию, которая будет складывать эти два многоразрядных числа и возвращать результат в виде нового списка.

def add_numbers(num1, num2):
    # Реверсируем списки, чтобы выполнять сложение разрядов справа налево
    num1 = num1[::-1]
    num2 = num2[::-1]

    # Создаём результирующий список с нулевыми значениями
    result = [0] * max(len(num1), len(num2))

    carry = 0  # Переменная для хранения переноса

    for i in range(len(result)):
        digit_sum = carry  # Прибавляем перенос к текущему разряду
        if i < len(num1):
            digit_sum += num1[i]
        if i < len(num2):
            digit_sum += num2[i]

        result[i] = digit_sum % 10  # Записываем остаток от суммы в текущий разряд

        carry = digit_sum // 10  # Вычисляем перенос для следующего разряда

    if carry > 0:
        result.append(carry)  # Если остался неиспользованный перенос, добавляем его в конец списка

    return result[::-1]  # Инвертируем список и возвращаем результат


# Пример использования
num1 = [3, 2, 5, 4]
num2 = [1, 9, 8, 7]
result = add_numbers(num1, num2)
print(result)  # [2, 2, 4, 2, 1]

В данной реализации мы проходимся по спискам num1 и num2, складывая разряды и учитывая переносы. Результат записываем в новый список result, который затем инвертируется и возвращается как результат. В данном примере, результат сложения чисел [3, 2, 5, 4] и [1, 9, 8, 7] будет [2, 2, 4, 2, 1].

Задача 3. Напиши код программы. Есть две строки, представляющие два многоразрядных числа. Затем функция выполняет вычитание чисел, используя столбиковый метод, и возвращает результат в виде строки.

def subtract_strings(num1, num2):
    # Проверяем, какое число больше
    if len(num1) < len(num2):
        num1, num2 = num2, num1

    # Добавляем нули в начале строки, чтобы оба числа имели одинаковую длину
    num2 = num2.zfill(len(num1))

    # Преобразуем строки в списки цифр
    digits1 = [int(d) for d in num1]
    digits2 = [int(d) for d in num2]

    # Выполняем вычитание
    result = []
    carry = 0
    for i in range(len(digits1)-1, -1, -1):
        diff = digits1[i] - digits2[i] - carry

        if diff < 0:
            diff += 10
            carry = 1
        else:
            carry = 0

        result.insert(0, str(diff))

    # Удаляем ведущие нули
    while result[0] == '0' and len(result) > 1:
        result.pop(0)

    # Возвращаем результат в виде строки
    return ''.join(result)


# Пример использования
num1 = input("Введите первое число: ")
num2 = input("Введите второе число: ")

result = subtract_strings(num1, num2)
print("Результат вычитания:", result)

Вы можете запустить этот код, введя два многоразрядных числа, и программа вернет результат их вычитания с использованием столбикового метода.